Logika Matematika

I. LOGIKA MATEMATIKA

A. Pernyataan dan Negasinya

Logika Matematika : Logika merupakan alat untuk menarik kesimpulan yang sahih (sah).

Kalimat yang mempunyai salah satu dari nilai benar atau salah disebut proposisi atau pernyataan. Pernyataan ditulis dengan huruf kecil a, b, c, …, p, q, r dan seterusnya.

Ingkaran Pernyataan: Negasi atau ingkaran dari pernyataan p, ditulis ~p adalah pernyataan lain yang penyangkal pernyataan yang diberikan.

Tabel Kebenaran Ingkaran

p	~ p
B	S
S	B

Contoh:

p : hari ini hujan

~p : hari ini tidak hujan atau tidak benar hari ini hujan

B. Pernyataan Majemuk :

adalah pernyataan baru yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (komponen) dengan menggunakan kata hubung logika Seperti: ‘dan’, ‘atau’, ‘jika…maka…’,atau ‘…jika dan hanya jika…’

Nilai KebenaranPernyataan Majemuk tergantung:

▪ nilai kebenaran dari pernyataan tunggalnya (komponennya)

▪ kata hubung logika yang digunakan

1. Konjungsi

Pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan-pernyataan p dan q dengan menggunakan kata hubung logika ‘dan’. Konjungsi “p dan q” dilambangkan “p Λ q”

Tabel Kebenaran Konjungsi

P	q	p Λ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

‘p Λ q’ bernilai benar hanya apabila

p dan q sama-sama bernilai benar

2. Disjungsi

Pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan-pernyataan p dan q dengan menggunakan kata hubung logika ‘atau’. Disjungsi “p atau q” dilambangkan “p V q”

Tabel Kebenaran Disjungsi

P	q	p V q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

‘p V q’ bernilai salah hanya apabila p dan q sama-sama bernilai salah

3. Implikasi

Pernyataan majemuk yang disusun dari pernyataan-pernyataan p dan q dalam bentuk ‘jika p maka q’Implikasi “Jika p maka q” dilambangkan “p → q”.

Tabel Kebenaran Implikasi

P	q	p → q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

‘p → q’ bernilai salah apabila p bernilai benar dan q bernilai salah .

4. Biimplikasi

Pernyataan majemuk yang disusun dari pernyataan-pernyataan p dan q dengan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ . Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dilambangkan “p ↔ q”.

Tabel Kebenaran Biimplikasi

P	q	p ↔ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

‘p ↔ q’ bernilai benar apabila p dan q keduanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah. Jadi, pernyataan yang benar

adalah pernyataan (1) dan (3)

Contoh 1

Kalimat (p → q) → r bernilai benar Jika

(1) p benar, q salah, r salah

(2) p salah, q benar, r salah

(3) p salah, q salah, r benar

(4) p salah, q salah, r salah

Jawab

Pernyataan ke	P	Q	(p ®q )	r	(p ® q) ® r
1 2 3 4	B S S S	S B S S	S B B B	S S B S	B S B S

Contoh 2

Diberikan empat pernyataan p, q, r, dan s. Jika pernyataan berikut benar p ↔ q, q → r, r → s dan s pernyataan yang salah, maka di antara pernyataan berikut yang salah adalah….

a. ~p b. ~r c. ~q

d. p Λ r e. p V ~r

Jawab

s pernyataan yang salah r → s benar; berarti r salah q → r benar; berarti q salah p ↔ q benar; berarti p salah. Jadi, ~p benar;

~r benar; ~q benar

p Λ r salah; ® jawaban d

p V ~r benar

5. Ekivalensi

Pernyataan Majemuk dua pernyataan majemuk yang ekivalen adalah dua pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Contoh bebrapa Pernyataan Ekivalen

1. ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q

2. ~(p V q) ≡ ~p Λ ~q

3. p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r)

4. p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r)

5. p → q ≡ ~p V q

6. ~(p → q) ≡ p Λ ~q

7. p↔q ≡ (p → q) Λ (q → p)

≡ (~p V q) Λ (~q V p)

8. ~(p ↔ q) ≡ (p Λ ~q) V (q Λ ~p)

Contoh 3:

Ingkaran yang benar dari pernyataan “Saya lulus Ujian Nasional dan saya senang” adalah….

(1). Saya tidak lulus Ujian Nasional dan saya tidak senang

(2). Tidak benar bahwa saya lulus Ujian Nasional dan saya senang

(3). Saya lulus Ujian Nasional dan saya tidak senang

(4) Saya tidak lulus Ujian Nasional atau saya tidak senang

Jawab:

Ingkaran p Λ q adalah ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q. Jadi pernyataan yang benar adalah

(2) Tidak benar saya lulus Ujian nasional dan saya senang

(4) Saya tidak lulus Ujian Nasional atau saya tidak senang

Contoh 4:

Ingkaran dari (p Λ q) → r adalah….

a. ~p V ~q V r b. (~p Λ ~q) V r

c. p Λ q Λ ~r d. ~p Λ ~q Λ r

e. (~p V q) Λ r

Jawab: ingat bahwa: ~(p→q) ≡ p Λ ~q

~[(p Λ q) → r] ≡ (p Λ q) Λ ~r

≡ p Λ q Λ ~r

Jadi, jawabannya adalah c

Contoh 5:

Ingkaran pernyataan: “Jika guru tidak hadir maka semua murid senang” adalah….

a. Guru hadir dan semua murid tidak senang

b. Guru hadir dan ada beberapa murid senang

c. Guru hadir dan semua murid senang

d. Guru tidak hadir dan ada beberapa murid tidak senang

e. Guru tidak hadir dan semua murid tidak senang

Jawab:

Ingat bahwa: ~(p → q) ≡ p Λ ~q. jadi ingkaran dari “Jika guru tidak hadir maka semua murid senang” dalah “guru tidak hadir dan ada beberapa murid tidak senang” ® jawaban d

6. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Jika diketahui implikasi p → q maka:

Konversnya adalah q → p

Inversnya adalah ~p → ~q

Kontraposisinya adalah ~q → ~p

Catatan: p → q ≡ ~q → ~p

Contoh 6:

~p → q mempunyai nilai kebenaran sama dengan….

(1). p V q (2). p Λ q

(3). ~q → p (4). ~q Λ ~p

Jawab:

ingat bahwa: p → q ≡ ~p V ~q

≡ ~q → ~p

~p → q ≡ ~q → p… (3) benar

≡ p V q … (1) benar

Contoh 2:

Pernyataan berikut yang ekivalen dengan: “Jika p benar maka q salah” adalah….

p benar atau q salah
Jika q salah maka p benar
Jika p salah maka q benar
Jika q benar maka p salah
Jika q benar maka p benar

Jawab:

Implikasi p → q ekivalen dengan Kontraposisi ~q → ~p dan ~p V q. Jadi “Jika p benar maka q salah” ekivalen dengan “Jika q benar maka p salah” atau “p salah atau q salah” .

7. Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan adalah menentukan pernyataan nilai (konklusi) dari pernyataan-pernyataan (premis) melalui aturan tertentu

Suatu kesimpulan (konklusi) dianggap sah jika:

▪ implikasi dari konjungsi premisnya dengan konklusinya adalah tautologi (selalu benar untuk semua ondisi)

▪ Konjungsi semua premisnya benar maka konklusinya benar

Penarikan Kesimpulan yang sah di dalam logika matematika ada beberapa penarikan kesimpulan yang sah, di antaranya adalah :

a. Modus Ponens:

p → q (premis 1 = benar)

p (premis 2 = benar)

q (konklusi benar)

Contoh:

Jika hujan lebat maka terjadi banjir

Diketahui :

hari ini hujan lebat

maka kesimpulan : terjadi banjir

b. Modus Tollens:

p → q (premis 1 = benar)

~q (premis 2 = benar)

~p (konklusi benar)

Contoh:

Jika BBM naik maka ongkos bis naik

Diketahui : ongkos bis tidak naik , maka kesimpulannya BBM tidak naik

c. Silogisme:

p → q (premis 1 = benar)

q ® r (premis 2 = benar)

p ® r (konklusi benar)

Contoh:

Jika Budi rajin belajar maka lulus UN

Jika lulus UN maka orangtua senang

Diketahui: Budi rajin belajar maka kesimpulannya orangtua senang

LATIHAN:

1. Diketahui pernyataan p dan q

Argumenatsi: ~p ® q

~r ® ~q

r ® p

disebut….

a. Implikasi b. Kontraposisi

c. Modus ponens d. Modus tollens e. silogisme

2. Penarikan kesimpulan dari premis-premis:

p V q

………..

a. p b. ~p c. q

d. ~(p V q) e. ~ q

3. Penarikan kesimpulan dari

1. p V q

2. ~p

3. q

yang sah adalah….

a. hanya 1 b. hanya 1 dan 2

c. hanya 3 d. hanya 1 dan 3

e. hanya 2 dan 3

II. PENALARAN DAN SISTEM MATEMATIKA

1. Penalaran Matematika

Penalaran Induktif dan Deduktif

Matematika dapat dipandang sebagai suatu bidang studi yang menekankan pada kreativitas. Untuk mengembangkan kreativitas diperlukan beberapa aspek pemikiran diantaranya adalah penalaran.

Untuk membangun penalaran Anda, ikuti beberapa contoh berikut:

Contoh 1:

Berapakah jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga?

Cara yang peling mudah untuk menjawab pertanyaan tersebut dengan mengukur setiap sudut segitiga tersebut. Apakah anda memperoleh jumlah ketiga sudut segitiga yang anda buat adalah 180^o? kalau tidak ulangi mengambar segitiga lain kemudian ukur ketiga sudut segitiga tersebut. Lakukan untuk beberapa segitiga yang berbeda.

Pasti anda akan memperoleh jumlah ketiga susdut segitiga itu adalah 180^o. cara menemukan jumlah sudut segitiga tersebut disebut dengan cara penalaran induktif. Penemuan kesimpulan dengan penalaran induktif tersebut belum dapat digunakan sebagai suatu pembuktian. Untuk membuktikan hasil penalaran induktif diperlukan penalaran deduktif.

Perhatikan segitiga sebarang ABC

Terlihat bahwa:

α* = α dan γ* = γ

serta γ*+ α* + β = 180^O

maka γ + α + β = 180^O

atau α + β + γ = 180^O

Contoh 2:

Berapakah hasil penjumlahan berikut ini: 1 + 3 + 5 + 7 +……+ 199. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan tabel berikut:

Banyak suku	Penjumlahan	Hasil
1 2 3 4 . . 10 . 100 . N	1 1+3 1+3+5 1+3+5+7 … … 1+3+5+7+…+19 … 1+3+5+…+199 … 1+3+5+…+(2n-1)	1= 1² 4=2² 9=3^… 16=….² …. …. …. = 10² …. ….= 100² … ….= …..

Kita peroleh bahwa 1+3+5+…+199 = 100²=10.000

Berapakah 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n²

Penemuan rumus tersebut adalah penemuan secara induktif, cara ini belum dapat digunakan sebagai pembuktian. Untuk membuktikan rumus tersebut digunakan penalaran deduktif sebagai berikut:

Penjumlahan di atas kita pandang sebagai barisan atau deret. Ambil dua bilangan sebarang, misal a dan b. kita bentuk barisan

a + (a+b) + (a+2b) + (a + 3b) + …+ {a + (n-1)b} , dengan a = suku pertama = 1 dan b = beda = 2.

1 + 3 + 5 + … + n

a + ( a+ b) + (a + 2b) + … + {a+(n-1)b}

S1 + S2 + S3 + … + Sn

Jadi Sn = a + (n-1)b

Jn = S1 +S2+S3+…+Sn

Jn = a + (a+b) + (a+2b) +…+ [a+(n-1)b]

Jn = [a+(n-1)b] + [a+(n-2)b] + [a+(n-3)b] +…+ a

2 Jn = [2a + (n-1)b] +[2a+(n-1)b + [2a +(n-1)b]+…+ [2a+[n-1)b]

Ada sebanyak n suku yang setiap suskunya = 2a +(n-1)b

Jadi 2 Jn = n [2a+ (n-1) b] = n [a + a + (n-1)b] = n [ a+ Sn]

Jn =

n ( a + Sn)

Sehingga Jn = 1+3+5+…+ (2n-1)

Jn =

n ( 1 + 2n -1)

Jn = n²

Contoh 3:

Tentukan hasil penjumlahan berikut 1+2+3+4+…+ n dengan:

penalaran induktif
penalaran deduktif

Penyelesaian:

1. Penalaran Induktif

Perhatikan tabel berikut:

Banyak suku	Penjumlahan	Hasil
1 2 3 . . 10 . . N	1 1+2 1+2+3 .. … 1+2+3+4+…+10 … … 1+2+3+…+n	1= x 1 x … 3= x 2 x 3 6= x 3 x 4 … … …. = x 10 x 11 …= x n x ….

Jadi 1 + 2 + 3 + … + n =

n (n+1)

2. Penalaran Deduktif:

Jn = 1 + 2 + 3 + …+ n

n (a + Sn) sesuai dengan contoh 2 di atas

n (1 + n)

n (n+1)

Contoh 4

Buktikan bahwa kuadrat setiap bilangan genap merupakan bilangan genap pula.

Perhatikan bahwa 2² = 4,4² = 16, 6² = 36, 8² = 64, 10² = 100, 12² = 144, 14² = 196 dan seterusnya.

Dari contoh-contoh ini tampak bahwa hasil kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap pula. Sehingga apa yang harus kita buktikan telah terbukti.

Pembuktian dengan mengambil contoh-contoh tertentu seperti itu, dalam matematika bukan merupakan bukti yang absah, meskipun kita tidak dapat menunjukkan adanya suatu bilangan genap yang bila dikuadratkan hasilnya bukan merupakan bilangan genap.

Bukti secara deduktif dari pernyataan itu adalah sebagai berikut.

Ambil sebarang bilangan genap, misalnya 2n dengan n suatu bilangan bulat, maka (2n)² = 4n² = 2 (2n²).

Karana n suatu bilangan bulat, maka 2n² suatu bilangan bulat pula, sehingga 2 (2n²) merupakan suatu bilangan genap. Jadi (2n)² merupakan suatu bilangan genap.

Kesimpulan: Kuadrat setiap bilangan genap merupakan bilangan genap pula.

Contoh 5.

Sebuah segiempat mempunyai 2 diagonal. Gambarlah bangun-bangun segilima, segienam, dan segitujuh. Tentukanlah banyak diagonal dari tiap-tiap bangun yang anda gambar itu.

Dari contoh-contoh tersebut, tariklah kesimpulan untuk memperoleh rumus banyak diagonal suatu segi n. Buktikan kesimpulan tersebut secara deduktif.

Penyelesaian:

Perhatikan tabel berikut:

Segi	Contoh Gambar	Banyaknya Diagonal
4 5 6 . . 10 . N		2 = x 4 x 1…. 5 = x 5 x …2… …. = x 6 x 3 … = x 10 x 7 … = x n x (……)

Jadi banyaknya diagonal segi-n adalah

n (n-3)

Contoh 6

Selisih kuadrat dua bilangan asli berurutan:

2² – 1² = 3 = 2 + …1..

3² – 2² = 5 = 3 +2….

4² – 3² = 7 = 4 + 3….

5² – 4² = … = …. + 4

6² – 5² = …. = ….. + 5

43215² – 43214² = ……. + ……..

n² – (n-1)² = ……n+(n-1)=2n-1…….

Jadi n² – (n-1)² = 2n-1

Buktikan kesimpulan di atas dengan cara deduktif!

n² – (n-1)² = ………

Contoh 7:

Perhatikan deret berikut :

+ …

a) Tentukan suku ke 10

b) Hitunglah jumlah 10 suku yang pertama

c) Carilah rumus jumlah n suku pertama

d) Buktikan secara deduktif rumus jumlah n suku pertama

Penyelesaian:

Deret di atas dapat di tulis

+ …

a) suku ke 10 =

Perhatikan tabel berikut:

Banyak suku	Deret	Jumlah	Hasil
1 2 3 4 . . 10 . . N	+ ++ +++ … ++++…+ ++++…+	…………… ……………

b) jumlah 10 suku pertama =

c) jumlah n suku pertama =

d) Bukti secara deduktif jumlah n suku pertama sebagai berikut:

Misal

+…+

= Dn

Dapatkan Dn : 2

Dn =

+…+

Selanjutnya Dn -

Dn =

+ … +

Dn =

+ … +

(-)

Dn =

(terbukti)

Jadi

+…+

Contoh 8

Perhatikan deret berikut 1 + 8 + 27 + 64 + . . . .

a) tentukan susku ke 7 dan suku ke 10

b) hitung jumlah 10 suku perama

c) hitung jumlah 200 suku pertama

d) susunlah rumus untuk jumlah n suku pertama

Penyelesaian diserahkan kepada anda untuk latihan.

Latihan:

1. Ditentukan deret berikut

a. 2+4+6+8+….

Pada tiaptiap deret tersebut, tentukanlah:

(i) suku ke 10 dan suku ke n

(ii) jumlah 10 suku ang pertama

(iii) rumus jumlah n suku pertama

2. Buktikan dengan menunjukkan sebuah contoh bahwa pernyataan berikut tidak benar:

a. Kuadrat setiap bilangan bulat merupakan bilangan positif

b. jika p dan q bilangan-bilangan prima, maka pq+1 merupakan bilangan prima

c. Untuk setiap bilangan asli n, n²-n+17 merupakan bilangan prima

d. Jika p, q, dan r bilangan-bilangan prima maka p.q.r+1bilangan prima

3. Pada suatu bidang datar terdapat 200 garis lurus. Tidak ada garis yang sejajar maupun berimpit. Tidak ada tiga garis atau lebih yang berpotongan. Berapakah banyak titik potong garis-garis lerus tersebut?

4. Pada sebuah lingkaran dibuat 201 titik yang tidak berimpit. Berapakah banyak tali busur yang menghubungkan setiap dua titik tersebut?

5. Diketahui segitiga pascal sebagai berikut:

1 baris 1

1 1 baris 2

1 2 1 baris 3

1 3 3 1 baris 4

1 4 6 4 1 baris 5

1 5 10 10 5 1 baris 6

Dst.

Perhatikan bahwa bilangan pada segitiga Pascal tersebut yang tidak berada di tepi merupakan jumlah dua bilangan yang berada tepat diatasnya.

Berapakah banyak suku pada baris ke 20
Tentukan suku ke 2 pada baris ke 21
Tentukan suku ke 3 pada baris ke 21
Berapakah jumlah semua suku pada baris ke 21
Berapkah jumlah semua suku pada baris ke 1, ke 2, ke 3, dan seterusnya hingga baris ke 21

2. Sistem Matematika

Sebagai gambaran sistem matematika, kita ambil bilangan asli {1,2,3,…, 30}. Penjumlahan bilangan-bilangan dalam himpunan itu dan hasilnya harus termasuk dalam himpunan itu pula. Khusunya untuk pembelajaran kelas I SD bilangan asli yang digunakan hanya sampai bilangan 30, maka dalam membuat soal hasilnya tidak boleh lebih dari 30.

Sifat Tertutup:

Misalkan A={1,2,3,4,…} adalah himpunan semua bilangan asli, untuk operasi penjumlahan (+) maka hasil penjumlahan dua bilangan asli adalah bilangan asli pula. Hal ini dikatakan bahwa penjumlahan pada himpunan bilangan asli bersifat tertutup. Ketentuan itu memnuhi 3 kriteria dalam sistem matematika, yaitu (1) ada himpunan tertentu, (2) ada operasi tertentu, dan (3) memenuhi sifat tertutup.

Perhatikan untuk himpunan bilngan asli, yaitu Z = { 1, 2, 3, ……}

Sifat-sifat penjumlahan pada himpunan bilangan asli:

Sifat tertutup penjumlahan:

Jika a dan b bilangan-bilangan asli, maka hasil penjumlahan (a+b) merupakan bilangan asli pula.

Sifat asosiatif penjumlahan:

Jika a,b,dan c sebarang bilangan-bilangan asli, maka (a+b)+c = a+(b+c)

Sifat komutatif penjumlahan:

Jika a dan b sebarang bilangan-bilangan asli, maka a + b = b + a

Sifat-sifat perkalian pada himpunan bilangan asli:

Sifat tertutup perkalian:

Jika a dan b bilangan-bilangan asli, maka hasil kali (a x b) merupakan bilangan asli pula.

Sifat asosiatif perkalian:

Jika a,b,dan c sebarang bilangan-bilangan asli, maka (a x b) x c = a x (b x c)

Sifat komutatif perkalian:

Jika a dan b sebarang bilangan-bilangan asli, maka a x b = b x a

Sifat distributif (penyebaran) perkalian terhadap penjumlahan pada himpunan bilangan asli:

Jika a, b, dan c sebarang bilangan-bilangan asli, maka:

a x (b + c) = a x b + a x c

(a + b) x c = a x c + b x c

Catatan: tanda kurung dalam operasi di atas menunjukkan pengerjaan dilakukan terlebih dahulu.

Bagaimana untuk operasi pengurangan, apakah juga bersifat tertutup?

Perhatikan untuk himpunan bilangan bulat, yaitu

B ={ …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} :

apakah penjumlahan pada himpunan bilangan bulat bersifat tertutup?
apakah perkalian pada himpunan bilangan bulat bersifat tertutup?
apakah pengurangan pada himpunan bilangan bulat bersifat tertutup?
apakah pembagian pada himpuna bilangan bulat bersifat tertutup?

Perhatikan untuk himpunan bilangan rasional, yaitu

Q = {

a, b bilangan bulat dan b

Penjumlahan bilangan rasional didefinsikan sebagai berikut:

Jika

dan

dua bilangan rasional, maka

Karena

bilangan rasional maka a dan b adalah bilangan bulat dan b

Karena

bilangan rasional maka c dan d adalah bilangan bulat dan d

Sehingga ad dan cb juga bilangan-bilangan bulat serta bd

Jadi

adalah bilangan rasional,

sehingga disimpulkan bahwa operasi penjumlahan pada himpunan bilangan rasional bersifat tertutup.

Selanjutnya selidiki sifat-sifat asosiatif dan sifat komutatif penjumlahan pada himpunan bilangan rasional!

Bagaimana untuk operasai perkalian, pengurangan, dan pembagian? Apakah juga memilki sifat tertutup pada himpunan bilangan rasional? Dan bagaimana sifat-sifat asosiatif, komutatif?

Operasi baru pada suatu himpunan:

Kita dapat membuat operasi baru pada bilangan-bilangan bulat,misalnya operasi o (dibaca “bundaran”) dengan aturan /ketentuan (definisi) sebagai berikut:

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat,ditentukan bahwa aob = a + b – 10.

Misalnya 5o7 = 5+7-10 = 2,

6o9 = 6+9-10 = 5,

(-5) o 2 = (-5)+2-10 = -13, dan sebagainya.

Tampak dari contoh-contoh ini bahwa operasi o pada himpunan bilangan bulat bersifat tertutup. Jadi himpunan semua bilangan bulat dengan operasi o tersebut suatu sistem. Selanjutnya kita akan menyelidiki sifat-sifat yang dimiliki oleh sistem ini.

Misalkan a,b dan c bilangan-bilangan bulat,

(a o b) o c = (a+b-10) o c

=(a+b-10) + c -10

= a + b -10 + c -10

= a + b + c – 20

a o (b o c) = a o (b + c -10)

= a + (b + c -10) – 10

= a + b + c – 10 – 10

= a + b + c – 20

Jadi a o (b o c) = (a o b) o c

Sehingga himpunan semua bilangan bulat dengan operasional o itu bersifat asosiatif.

Apakah himpunan semua bilangan bulat dengan operasi o tersebut mempunyai elemen identitas?

Apakah setiap elemen dari sistem ini mempunyai invers terhadap o?

III. PERSAMAAN DAN PERTIDAK SAMAAN LINIER

A. Sistem persamaan linier dua variabel

Sistem persamaan linier dua variabel adalah dua persamaan linier dan dua variabel yang hanya memiliki satu titik penyelesaian.

Bentuk umum :

a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂

Mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel ada 4 cara :

1. metode grafik

2. metode subsitusi

3. metode eliminasi

4. metode eliminasi dan subsitusi.

1. METODE SUBSITUSI

Metode subsitusi dimulai dengan menyatakan sebuah variabel dari salah satu sistem persamaan linier dua variabel dalam variabel lain.

Contoh Soal - 1

Himpunan penyelesian dari :

2x + y = 6 dan x – y = - 3, adalah . . .

a . {(1,2)}

b . {(1,4)}

c . {(2,4)}

d . {(2,-4)}

Pembahasan :

2x + y = 6 à y = 6 – 2x ...............(1)

x – y = -3 .....................................(2)

Subsitusikan persamaan (1) ke (2),

x - y = -3

x - ( 6 – 2x ) = -3

x – 6 + 2x = -3

3x - 6 = -3

3x = -3 + 6

3x = 3 à x = 1

Subsitusikan x = 1 ke persamaan (1), maka:

y = 6 – 2x

y = 6 – 2(1)

y = 6 – 2

y = 4

Jadi, Himpunan penyelesaiannya : {(1, 4)}

Contoh Soal – 2

Himpunan penyelesian dari :

x – 3y = -7 dan 2x + 3y = 4 adalah . . .

a. {(1,2)}

b. {(-1,2)}

c. {(-1,-2)}

d. {(2,-1)}

Pembahasan :

x - 3y = -7 à x = -7 + 3y ...............(1)

2x +3 y = 4 .........................................(2)

Subsitusikan persamaan (1) ke (2),

2x + 3 y = 4

2( -7+ 3y) + 3y =4

-14 + 6y + 3y = 4

9y = 4 + 14

9y = 18

y = 2

Subsitusikan y = 2 ke persamaan (1),

maka:

x = -7 + 3y

= -7 + 3 ( 2)

= -7 + 6

= - 1

Jadi,

Himpunan penyelesaiannya : {(-1, 2)}

Contoh Soal – 3

Himpunan penyelesian dari :

3x – 2y = 7 dan 2x + y = 14 adalah {(a,b)}. Nilai a + b = . . ..

Pembahasan :

2x + y = 14 à y = 14 – 2x............(1)

3x - 2 y = 7.......................................(2)

Subsitusikan persamaan (1) ke (2),

3x - 2 y = 7

3x – 2( 14 – 2x ) = 7

3x -28 + 4x = 7

7x = 7 + 28

7x = 35

x = 5 à a = 5

Subsitusikan x = 5 ke persamaan (1),

maka:

y = 14 – 2x

= 14 – 2(5)

= 14 - 10

= 4 à b = 4

Nilai a + b = 5 + 4

= 9

METODE ELIMINASI

Metode eliminasi adalah cara untuk mendapatkan nilai pengganti suatu variabel melalui penghilangan variabel yang lain. Untuk mengeliminasi suatu variabel, langkah pertama yang dilakukan adalah menyamakan koefisien variabel tersebut.

Contoh Soal - 1

Himpunan penyelesian dari :

2x + y = 6 dan x – y = - 3, adalah . . .

a .{(1,2)}

b .{(1,4)}

c .{(2,4)}

d .{(2,-4)}

Pembahasan :

Mencari nilai x dengan mengeliminasi y :

2x + y = 6

x – y = -3

-------------- +

3x = 3

x = 1

Pembahasan :

Mencari nilai y dengan mengeliminasi x :

2x + y = 6 x 1 à 2x + y = 6

x – y = -3 x 2 à 2x – 2y = -6

-------------- -

3y = 12

y = 4

Jadi Himpunan penyelesaian : {(1,4)}.

Contoh Soal – 2

Himpunan penyelesian dari : x – 3y = -7 dan 2x + 3y = 4 adalah . .

a. {(1,2)}

b. {(-1,2)}

c. {(-1,-2)}

d. {(2,-1)}

Pembahasan :

Mencari nilai x dengan mengeliminasi y :

x – 3y = -7

2x + 3y = 4

-------------- +

3x = - 3

x = - 1

Mencari nilai y dengan mengeliminasi x :

x - 3 y = -7 x 2 à 2x - 6 y = -14

2x +3y = 4 x 1à 2x + 3y = 4

------------------- -

-9 y =- 18

y = 2

Jadi Himpunan penyelesaian : {(-1,2)}.

Contoh Soal – 3

Himpunan penyelesian dari : 3x – 2y = 7 dan 2x + y = 14 adalah . . ..

a . {(4, 5)}

b . {(5,4)}

c . {(-4,5)}

d . {(4,-5)}

Pembahasan :

Mencari nilai x dengan mengeliminasi y :

2x + y = 14 x 2 à 4x + 2y = 28

3x - 2 y = 7 x 1 à 3x - 2y = 7

----------------- +

7x = 35

x = 5

Mencari nilai y dengan mengeliminasi x :

2x + y = 14 x 3 à 6x + 3y = 42

3x - 2 y = 7 x 2 à 6x - 4y = 14

----------------- -

7y = 28

y = 4

Jadi, himpunan penyelesaian : {( 5,4)}.

B. PERTIDAKSAMAAN LINIER

Pertidaksamaan linier dengan satu variabel adalah kalimat terbuka yang memuat variabel berpangkat 1(satu) yang memiliki hubungan ketidaksamaan <, >, £, dan ³ .

Contoh :

l x + 5 ³ 8

l y - 1 > 7

l a + 5 < 12

l b - 4 £ 9

Dalam penyelesaian prtidaksamaan linier, dapat digunakan pertidaksamaan yang ekuivalen dalam bentuk yang paling sederhana. Pertidaksamaan yang ekuivalen dapat ditentukan dengan cara ;

Menambah,mengurangi, mengali, dan membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama.

Contoh :

a. x + 3 ³ 7

Û x + 3 - 3 ³ 7 - 3

Û x ³ 4

\ x ³ 4 disebut penyelesaian dari x + 3 ³ 7

b. 3(x + 1) ³ 18

Û 3x + 3 ³ 18

Û 3x + 3 – 3 ³ 18 - 3

Û 3x ³ 15

Û x ³ 5

\ x ³ 5 disebut penyelesaian dari : 3(x + 1) ³ 18

c. x - 10 > 3x

Û x - 10 + 10 > 3x + 10

Û x > 3x + 10

Û x – 3x > 3x – 3x + 10

Û -2x > 10

Û ( - ½ ) . -2x > 10 . ( - ½ )

x < - 5

( tanda ketidaksamaan dibalik karena dikalikan dengan bilangan negatif )

Grafik penyelesaian pertidaksamaan.

• Penyelesaian suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan dengan noktah-noktah ( titik ) pada garis bilangan yang disebut grafik penyelesaian.

Contoh :

Untuk variabel pada bilangan asli kurang dari 8, tentukan grafik penyelesaian dari : 3x – 1 > x + 5

Penyelesaian :

3x – 1 > x + 5

3x – 1 + 1 > x + 5 + 1

3x > x + 6

3x – x > 6

2x > 6

x > 3

Variabel x yang memenuhi adalah : 4, 5, 6, dan 7

Grafik penyelesaiannya adalah :

Latihan Ulangan

1. Untuk x Î { bilangan cacah }, himpunan penyelesaian dari 3x – 2 < 13 adalah….

a. { 0, 1, 2, 3, 4 }

b. { 0,1, 2, 3, 4, 5 }

c. { 3, 4, 5, 6, . . . }

d. { 4, 5, 6, 7, . . . }

2. Penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 5 > x + 3 adalah. . . .

a. x > 2 b. x < 2

c. x > 4 d. x < 4

3. Diketahui pertidaksamaan 13 – 2( y + 1) > ( y + 1 ) – 8. Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah . . .

a. y > - 6 b. y < - 6

c. y > 6 d. y < 6

4. Sebuah persegi panjang memiliki panjang 5 cm lebih dari lebarnya dan kelilingnya tidak lebih dari 38 cm. Jika lebarnya x cm, maka batas-batas nilai x adalah . . .

a. 0 < x £ 7 b. x £ 7

c. x > 7 d. 7 £ x £ 9

5. Bastian berusia 3 tahun lebih tua dari Diah. Jumlah usia mereka kurang dari 15 tahun, usia Diah sekarang adalah . . .

a. < 6 tahun b. > 6 tahun

c. = 6 tahun d. = 4 tahun

6. Jumlah dua bilangan cacah genap berurutan kurang dari atau sama dengan 90. bilangan itu adalah . . .

a. x £ 42 dan x £ 48

b. x £ 40 dan x £ 50

c. x ³ 44 dan x ³ 46

d. x £ 44 dan x £ 46

7. Himpunan penyelesaian dari : -6( a + 2) + 4a £ - 6 , adalah ….

a. a £ -3

b. a ³ -3

c. a ³ -6

d. a £ -6

8. Lebar sebuah persegi panjang lebih pendek 4 cm dari panjangnya. Jika keliling nya sama dengan 72 cm, panjang persegi panjang adalah . . .

a. 16 cm b. 18 cm

c. 20 cm d. 22 cm

9. Berat badan rata-rata 4 orang siswa 55 kg. Ketika datang seorang siswa lain, berat rata-ratanya menjadi 56 kg. Berat badan siswa yang baru datang adalah . . .

a. 70 kg b. 68 kg

c. 60 kg d. 56 kg

IV. HIMPUNAN, RELASI, DAN FUNGSI

A. HIMPUNAN

1. Konsep Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang didefinisikan dengan jelas. Benda atau obyek yang dimuat adalah suatu himpunan disebut anggota himpunan atau elemen.

Contoh : A adalah himpunan bilangan ganjil kurang dari 10

A = { bilangan ganjil kurang dari 10 }

1 Î A

3 Î A

5 Î A

7 Î A

9 Î A

Sedangkan yang bukan anggota

2 Ï A

4 Ï A

2. Notasi Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan :

a. kata-kata ( metode deskripsi )

b. notasi pembentuk komponen ( metode rule )

c. mendaftar anggotanya ( metode Roster )

contoh:

A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 10

B adalah himpunan bilangan faktor dari 12

C adalah himpunan bilangan ganjil kurang dari 11

Metode deskripsi

A = { bilangan prima kurang 10 }

B = { faktor dari 12 }

C = { bilangan ganjil kurang dari 11 }

Metode Rule

A = { x | x bil. prima kurang dari 10 }

B = { x | x faktor dari 12 }

C = { x | x bil. ganjil kurang dari 11 }

Metode Roster

A = { 2, 3, 5, 7 }

B = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }

C = { 1, 3, 5, 7, 9 }

B. GABUNGAN HIMPUNAN

Gabungan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggota nya menjadi anggota A saja atau anggota B saja atau anggota persekutuan A dan B dengan notasi pembentuk himpunan, gabungan himpunan A dan B didefinisikan sebagai :

A È B = { x | x Î A dan x Î B }.

DIAGRAM VENN

Diagram Venn merupakan gambar himpunan yang digunakan untuk menyatakan hubungan beberapa himpunan.

Model - 1

Jika anggota himpunan A sama dengan anggota himpunan B, ditulis : A = B

Model 2

Jika anggota himp. A tidak ada yang sama dengan anggota himp. B Ditulis : A É Ì B

Model - 3

Jika ada anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B

Ditulis : A Ç B

Model 4

Jika semua anggota himpunan B adalah anggota himpunan A

Dtulis : B Ì A

LATIHAN:

1. S = { bilangan asli }, A = { bilangan ganjil }

B = { bilangan prima > 2 },

himpunan di atas dapat dinyatakan dalam diagram Venn berikut :

2. Perhatikan gambar di bawah ini. Yang bukan anggota K adalah . . .

a. { 7, 8 }

b. { 1, 2, 9 }

c. { 3, 4, 5, 6 }

d. { 1, 2, 7, 8, 9 }

3. K = { k, o, m, p, a, s }, L = { m, a, s, u, k }, K È L = . . .

a. { p. o, s, u, k, m, a }

b. { m, a, s, b, u, k }

c. { p, a, k, u, m, i, s}

d. { k, a, m, p, u, s }

4. P = { faktor dari 10 }, Q = { tiga bilangan prima pertama }, P È Q = . . . .

a. { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10 }

b. { 1, 2, 3, 4, 5, 10 }

c. { 1, 2, 3, 5, 7, 10 }

d. { 1, 2, 3, 5, 10 }

5. Jika himpunan A Ì B dengan n(A) = 11 dan n(B) = 18, maka n ( A Ç B ) = . . .

a. 7 b. 11

c. 18 d. 28

6. Dalam sebuah kelas terdapat 17 siswa gemar matematika, 15 siswa gemar fisika, 8 siswa gemar keduanya. Banyak siswa dalam kelas adalah . . .

a. 16 siswa c. 32 siswa

b. 24 siswa d. 40 siswa

7. Dalam seleksi penerima beasiswa, setiap siswa harus lulus tes matematika dan bahasa. Dari 180 peserta terdapat 103 orang dinyatakan lulus tes matematika dan 142 orang lulus tes bahasa.

Banyak siswa yang dinyatakan lulus sebagai penerima beasiswa ada . . .

a. 38 orang c. 65 orang

b. 45 orang d. 77 orang

8. Dalam satu kelas terdapat 40 siswa, 12 orang di antaranya senang biola, 32 orang senang gitar, dan 10 orang senang keduanya. Banyak siswa yang tidak senang keduanya adalah….

2 orang b. 4 orang
c. 6 orang d. 8 orang

9. Sebuah RS mempunyai pasien sebanyak 53 orang, 26 orang menderita demam berdarah, dan 32 orang menderita muntaber. penderita DBD dan muntaber 7 orang,yang tidak menderita DBD atau muntaber adalah …

a. 2 orang c. 5 orang

b. 3 orang d. 6 orang

10. Dari 40 orang anak, ternyata 24 anak gemar minum teh, 18 anak gemar minum kopi, 5 anak tidak gemar minum keduanya Banyaknya anak yang gemar keduanya adalah . . .

a. 2 orang b. 5 orang

c. 7 orang d. 9 orang

C. RELASI DAN FUNGSI

Suatu relasi dari A ke B yang memasangkan setiap anggota A ke tepat satu anggota B disebut fungsi atau pemetaan dari A ke B.

1. Notasi Fungsi

Suatu fungsi atau pemetaan umumnya dinotasikan dengan huruf kecil.Misal, f adalah fungsi dari A ke B ditulis f: A → B . A disebut domain, dan B disebut kodomain.

2. Range atau Daerah Hasil

Jika f memetakan x Î A ke y Î B dikatakan y adalah peta dari x ditulis f: x → y atau y = f(x).

Ø Himpunan y Î B yang merupakan peta dari x Î A disebut range atau daerah hasil

contoh 1

Perhatikan gambar pemetaan f : A → B

domain adalah A = {a, b, c, d}

kodomain adalah B = {1, 2, 3, 4, 5}

contoh 2

Misal f: R → R dengan f(x) = √(1 - x²). Tentukan domain dari fungsi f.

Jawab

Supaya f: R→R dengan f(x)=√1-x2, maka haruslah 1 – x2 ≥ 0 dan 1 – x2 ≥ 0 → x2 – 1 ≤ 0 atau

(x - 1)(x + 1) ≤ 0 atau -1 ≤ x ≤ 1.

Jadi, domain fungsi tersebut adalah -1 ≤ x ≤ 1

contoh 3

Misal f: R → R , dengan f(x – 1) = x2 + 5x, Tentukan : a. f(x) b. f(-3)

Jawab

Misal y = x – 1 maka x = y + 1

karena f(x – 1) = x² + 5x

maka f(y) = (y + 1)² + 5(y + 1)

f(y) = y² + 2y + 1 + 5y + 5

f(y) = y² + 7y + 6

a. f(x) = x² + 7x + 6

b. f(-3) = (-3)² + 7(-3) + 6

= 9 – 21 + 6

= -6

3. Grafik Fungsi Produk Cartesius

Untuk memahami grafik fungsi produk Cartesius perlu dipahami terlebih dahulu tentang pasangan terurut. Suatu pasangan terurut (a,b) adalah pasangan nilai x dan nilai y, artinya (a,b) berarti nilai x = a dan nilai y = b. Oleh karena itu pasangan terurut (a,b) biasanya juga ditulis (x,y) yang menyatakan suatu titik pada koordinat Cartesius dalam bidang XOY.

Definisi 1:

Jika A dan B dua himpunan maka pruduk Cartesius dari A keB adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x є A, dan y є B yang ditulis {(x,y)|x єA, y єB}.

Definisi 2:

Jika A dan B himpunan yang diketahui dan diantara anggota-anggotanya ditenyukan suatu relasi R dari A ke B maka relasi R ini merupakan himpunan bagian dari A x B. Daerah asal (domain) relasi R adalah himpunan bagian dari A yang terdiri dari elemen pertama pasangan terurut anggota R. Sedangkan daerah hasil (range) dari relasi R terdiri dari elemen kedua pada semua pasangan terurut pada R.

Contoh:

Diketahui himpunan A ={-2, -1, 0, 1, 2}, an B= {0, 1, 2, 8}

1. Tulislah relasi A ke B sebagai pasangan terurut yang menunjukan kuadrat dari

2. Gambarlah relasi tersebut dalam koordinat Cartesius

Jawab:

1. R= {(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)}

2. Diagram cartesiusbya

Grafik fungsi y = f(x) adalah himpnan titik-titk seluruh pasangan berurutan (x,y) relasi

R: X → Y, dengan y=f(x)

4. Komposisi Fungsi

Penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut komposisi fungsi dan hasilnya disebut fungsi komposisi

x Î A dipetakan oleh f ke y Î B ditulis f : x → y atau y = f(x) y Î B dipetakan oleh g ke z Î C

ditulis g : y → z atau z = g(y) atau z = g(f(x))

maka fungsi yang memetakan x Î A ke z Î C adalah komposisi fungsi f dan g ditulis (g o f)(x) = g(f(x))

contoh 1

f : A → B dan g: B → C

didefinisikan seperti pada gambar

Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)(b)

Jawab:

>> (g o f)(a) = ?

f(a) = 1 dan g(1) = q

Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) = g(1) q

>> (g o f)(b) = ?

f(b) = 3 dan g(3) = p

Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3) = p

contoh 2.

Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p, dan g(x) = 3x + 120, maka nilai p = … .

Jawab:

f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120

g(f(x)) = f(g(x))

g(2x+ p) = f(3x + 120)

3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p

6x + 3p + 120 = 6x + 360 + p

3p – p = 360 – 120

2p = 240

p = 120

Sifat Komposisi Fungsi

1. Tidak komutatif:

f o g ≠ g o f

2. Bersifat assosiatif:

f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h

3. Memiliki fungsi identitas: I(x) = x

f o I = I o f = f

V. PELUANG

A. Faktorial

n faktorial ditulis “ n !” didefinisikan sebagai perkalian n buah bilangan asli pertama secara berurutan

Contoh:

1! = 1

2! = 1.2 = 2

3! = 1.2.3 = 6

5! = 1.2.3.4.5 = 120 dst.

Khusus untuk 0! Didefinisikan : 0 ! = 1

Contoh:

Hitunglah

Jawab :

B. Permutasi

Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Pr,n atau nPr)adalah banyak cara menyusun r unsur yang berbeda diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia.

Rumus: nPr =

Contoh 1

Banyak cara menyusun pengurus yang terdiri dari Ketua, Sekretaris, dan Bendahara yang diambil dari 5 orang calon adalah….

Penyelesaian

•banyak calon pengurus 5 ® n = 5

•banyak pengurus yang akan dipilih 3 ® r = 3

nPr = =

5P3 = =

= 60 cara

C. Kombinasi

Kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Crn atau nCr) adalah banyak cara mengelompokan r unsur yang diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia.

Rumus: nCr =

Contoh 1

Seorang siswa diharuskan mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan . Banyak pilihan yang dapat diambil oleh siswa adalah….

Penyelesaian

• mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan berarti tinggal memilih 2 soal lagi dari soal nomor 5 sampai 8

• r = 2 dan n = 4

• 4C2 = 6 cara

Contoh 2

Dari sebuah kantong yang berisi 10 bola merah dan 8 bola putih akan diambil 6 bola sekaligus

secara acak. Banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih adalah….

Penyelesaian

• mengambil 4 bola merah dari 10 bola merah ® r = 4, n = 10 ® 10C4

10 C4= = = = 210

• mengambil 2 bola putih dari 8 bola putih ® r = 2, n = 8 ® 8C2

8C2 = = = = 28

Jadi banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih adalah

10C4 x 8C2 = 7.3.10 x 7.4 = 5880 cara

D. Peluang atau Probabilitas

Peluang atau nilai kemungkinan adalah perbandingan antara kejadian yang diharapkan muncul dengan banyaknya kejadian yang mungkin muncul.

Bila banyak kejadian yang diharapkan muncul dinotasikan dengan n(A), dan banyaknya kejadian yang mungkin muncul (ruang sampel = S) dinotasikan dengan n(S) maka Peluang kejadian A ditulis

P(A) =

Contoh 1

Peluang muncul muka dadu nomor 5 dari pelemparan sebuah dadu satu kali adalah….

Penyelesaian:

n(5) = 1 dan

n(S) = 6 ® yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Jadi P(5) = =

Contoh 2

Dalam sebuah kantong terdapat 4 kelereng merah dan 3 kelereng biru . Bila sebuah kelereng diambil dari dalam kantong maka peluang terambilnya kelereng merah adalah….

Penyelesaian:

• Kejadian yang diharapkan muncul yaitu terambilnya kelereng merah ada 4 ® n(merah) = 4

• Kejadian yang mungkin muncul yaitu

terambil 4 kelereng merah dan 3 kelereng biru ® n(S) = 4 + 3 = 7

• Jadi peluang kelereng merah yang terambil adalah

P(merah) = =

Contoh 3

Dalam sebuah kantong terdapat 7 kelereng merah dan 3 kelereng biru. Bila tiga buah kelereng diambil sekaligus maka peluang terambilnya kelereng merah adalah….

Penyelesaian:

• Banyak kelereng merah = 7 , dan biru = 3 ® jumlahnya = 10

• Banyak cara mengambil 3 dari 7 ® 7C3 =

7C3 = = = 35

Banyak cara mengambil 3 dari 10 ® 10C3 =

10C3 = = = 120

• Peluang mengambil 3 kelereng merah sekaligus = = =

E. Komplemen Kejadian

• Nilai suatu peluang antara 0 sampai dengan 1 ® 0 ≤ p(A) ≤ 1

• P(A) = 0 ® kejadian yang tidak mungkin terjadi

• P(A) = 1 ® kejadian yang pasti terjadi

• P(A¹) = 1 – P(A) dengan A¹ adalah komplemen A

Contoh 1

Sepasang suami istri mengikuti keluarga berencana. Mereka berharap mempunyai dua anak.

Peluang paling sedikit mempunyai seorang anak laki-laki adalah ….

Penyelesaian:

• kemungkinan pasangan anak yang akan dimiliki: keduanya laki-laki, keduanya perempuan atau 1 laki-laki dan 1 perempuan ® n(S) = 3

• Peluang paling sedikit 1 laki-laki = 1 – peluang semua perempuan

= 1 –

Contoh 2

Dalam sebuah keranjang terdapat 50 buah salak, 10 diantaranya busuk. Diambil 5 buah salak. Peluang paling sedikit mendapat sebuah salak tidak busuk adalah….

b. c.

d. e.

Penyelesaian:

• banyak salak 50, 10 salak busuk

• diambil 5 salak ® r = 5

• n(S) = 50C5

• Peluang paling sedikit 1 salak tidak busuk

= 1 – peluang semua salak busuk

= 1 – ® berarti jawabannya a

F. Kejadian Saling Lepas

Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas maka peluang kejadian A atau B adalah

P(A atau B) = P(A) + P(B)

Contoh 1

Dari satu set kartu bridge (tanpa joker) akan diambil dua kartu satu persatu berturut-turut, kemudian kartu tersebut dikembalikan. Peluang terambilnya kartu as atau kartu king adalah….

Penyelesaian:

• kartu bridge = 52 ® n(S) = 52

• kartu As = 4 ® n(As) = 4

P(As) =

• kartu king = 4 ® n(king) = 4

P(king) =

• P(as atau king) = P(as) + P(king)

Contoh 2

Sebuah dompet berisi uang logam 5 keping lima ratusan dan 2 keping ratusan rupiah.Dompet yang lain berisi uang logam 1 keping lima ratusan dan 3 keping ratusan. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah….

Penyelesaian

• dompet I: 5 keping lima ratusan dan 2 keping ratusan

® P(dompet I,ratusan) = ½. =

• dompet II: 1 keping lima ratusan dan 3 keping ratusan.

®P(dompet II, ratusan) = ½. =

• Jadi peluang mendapatkan uang logam ratusan rupiah

® P(ratusan) = + =

G. Kejadian Saling Bebas

Kejadian A dan B saling bebas Jika keduanya tidak saling mempengaruhi

P(A dan B) = P(A) x P(B)

Contoh 1

Anggota paduan suara suatu sekolah terdiri dari 12 putradan 18 putri. Bila diambil dua anggota dari kelompok tersebut untuk mengikuti lomba perorangan maka peluang terpilihnya putra dan putri adalah….

Penyelesaian

• banyak anggota putra 12 dan banyak anggota putri 18 ® n(S) = 12 + 18 = 30

• P(putra dan putri) = P(putra) x P(putri)

= x

Contoh 2

Peluang Amir lulus pada Ujian Nasional adalah 0,90. Sedangkan peluang Badu lulus pada Ujian Nasional 0,85. Peluang Amir lulus tetapi Badu tidak lulus pada ujian itu adalah….

Penyelesaian:

• Amir lulus ® P(AL) = 0,90

• Badu lulus ® P(BL) = 0,85

• Badu tidak lulus ® P(BTL) = 1 – 0,85 = 0,15

• P(AL tetapi BTL) = P(AL) x P(BTL)

= 0,90 x 0,15

= 0,135

Contoh 3

Dari sebuah kantong berisi 6 kelereng merah dan 4 kelereng biru diambil 3 kelereng sekaligus

secara acak. Peluang terambilnya 2 kelereng merah dan 1 biru adalah….

Penyelesaian:

• banyak kelereng merah = 6, dan biru = 4 ® jumlahnya = 10

• banyak cara mengambil 2 merah, dari 6 ® r = 2 , n = 6

® 6C2 = = = 15

• banyak cara mengambil 1 biru dari 4 kelereng biru ® r = 1, n = 4

® 4C1 = 4

• banyak cara mengambil 3 dari 10

® n(S) = 10C3 = = 12.10 = 210

• Peluang mengambil 2 kelereng merah dan 1 biru =

Jadi peluangnya = ½

Contoh 4

Dari sebuah kotak yang berisi 5 bola merah dan 3 bola putih diambil 2 bola sekaligus secara

acak. Peluang terambilnya keduanya merah adalah….

VI. ARITMATIKA SOSIAL

A. Bunga

Akibat dari terjadinya simpan pinjam uang atau modal di Bank, Koperasi, atau antar pribadi, timbul maalah bunga sebagai biaya jasa. Perhitungan bunga umumnya dilakkan setelah selang intrval/periode waktu tertentusesuai dengan kesepakatan bersama. Periode perhitungan bunga atas sejumlah modal yang disimpan atau dipinjam ada yang periodenya a hari, 1 mnggu, 1 bulan, atau 1 tahun.

Contoh

1. Seorang pedagang menabung uangnya di Bank sebesar Rp1.500.000,00 dengan bunga 8% setiap tahun. Berapakah bunga setelah 1 tahun?

Penyelesaian

Jumlah uang yang ditabung Rp1.500.000,00

Lama menabung 1 tahun, bungan 8%

Jadi bunga diterima setelah 1 tahun =

=Rp120.000,00

B. Bunga Tunggal

Sesudah jangka waktu yang dispakati berakhir, bunga dari suatu modal akan dihitung sehingga diperoleh nilai pada periode yang telah ditentukan. Nilai bunga tersebut diambil atau tidak diambil tidak memperoleh bungan pada perhitungan bunga pada periode berikutnya, yang demikian disebut bungan tunggal.

Pada perhitungan bunga tunggal perlu diketahui istilah dan lambang-lambang sebagai berikut:

Modal/Pokok =P

Bunga = B

Suku Bunga = S

Waktu = W

Jika sebuh modal M disimpan di bank atau dipinjamkan dengan bunga tunggal sebesar B, dan suku bunga S maka setelah :

Periode I modal akan menjadi, M1 = P + SP = P(1+S)

Periode II modal akan menjadi M2 = P + SP + SP = P(1+2S)

Periode III modal akanmenjadi M3 = P +SP + SP + SP = P(1+3S)

Dst.

Periode t modal akan menjadi Mt = P + SP + SP + SP +… = P(1+tS)

Mt = P(1+tS)

Jadi

Contoh

2. Untuk membesarkan usaha pertaniannya Pak Untung pinjam uang di Bank sebesar Rp2.000.000,00 dengan suku bunga tunggal sebesar 18% per tahun. Hitunglah pinjaman Pak Untung setelah 9 bulan!

Penyelesaian

Suku bunga 1 tahun = 18%

Suku bunga 1 bulan =

Modal/Pokok dari Bank, P = Rp2.000.000,00

Utang setelah 9 bulan, M9 = P(1+9S)

= Rp2.000.000,00(1+ 9.

)

= Rp2.000.000,00(1+

)

= Rp2.000.000,00(

)

=Rp2.270.000,00

Latihan :

Budi menabung di Koperasi Sekolah sebesar Rp100.000,00. Setelah 1 tahun oleh Koperasi bunga tabungan Budi dihitung sebesar Rp2.500,00. Hitunglah suku bunga per tahun yang diberikan Koperasi tersebut.
Seorang pedagang menyimpan uangnya di Bank sebesar Rp15.000.000,00 dengan suku bunga 8% per tahun. Jika bunga yang diberlakukan bunga tunggal, hitunglah uang dan bunganya setelah 4 tahun

C. Diskonto Tunggal

Ada lembaga keuangan tertentu yang dalam melakukan pemotongan bunga sebelum uang pinjaman diterima si peminjam. Potongan awal demikian dinamakan diskonto. Jika bunga pada awal waktu peminjaman atau diskonto dilakukan terhadap sejumlah modal tetap (modal tidak berubah besarnya) dinamakan diskonto tunggal.

Jika jumlah total uang pinjaman dan bunga adalah M_n terdiri dari modal (M), Waktu (W) dan suku bunga (S), dan jika diskonto adalah D maka

M_t =

D = W.S.M_t

atau

Contoh

3. Seorang petani pinjam uang ke Bank Rp150.000.000,00 dengan diskonto tunggal 10% dan waktu pinjam 8 tahun. Berapakah uang yang dibawa pulang petani tersebut?

Penyalesaian:

D = W.S.M_t

= 8. 10%.M_t

= 0,8 M_t

Pinjaman yang telah dipotong diskonto oleh Bank adalah = M_t – 0,8M_t = 0,2 M_t

= 0,2 x Rp150.000.000,00

= Rp30.000.000,00

Jadi uang yang dibawapulang petani = Rp150.000.000,00 – Rp30.000.000,00

= Rp120.000.000,00

Latihan:

Seorang pedagang menabung di Bank sebesar Rp10.000.000,00 dengan bunga tunggal 12,5%. Per tahun. Hitunglah jumlah total modal tersebut setelah 5 tahun.
Kurnia pada tanggal 1 Januari 2005 mendepositikan uangnya di Bank sebesar Rp12.500.000,00 dengan bunga tunggal 11% per tahun. Jatuh tempo depositonya 30 Juni 2005 dan akan langsung diambil. Berapakah jumlah uang Kurnia semua?
Pak Hasim punya modal 15 juta rupiah diinvestasikan di Bank dengan bunga tunggal 18% per tahun. Setelah 3 tahun 4 bulan dana tersebut diambil. Hitunglah jumlah dana semuanya.
Seorang pedagang injam uang di Bank sebesar 100 juta rupiah, dengan diskonto tunggal 8% per tahun. Sesudah 20 bulan dia harus mengembalikan uangnya. Hitunglah diskonto yang harus dibayar di Bank.
Pedagang bunga menabung uang di Bank sebesar Rp200.000,00 selama 9 bulan. Perhitungan piutang berdasarkan bunga tunggal sebesar 18% per tahun. Berapakah seluruh uangnya?

D. Bunga Majemuk

Misal, Modal sebesar P, dipinjam/disimpan dengan suku bunga majemuk sebesar S per periode dengan bunga majemuk setiap periode konversinya B selama waktu periode t, jumlah total majemuk adal M_t, maka perhitungan modal total setiap periode adalah

Periode I modal menjadi P1 = P₀ + B₀P₀

Periode II modal menjadi P 2 = P₀ + B₀P₁

= P₀(1_B₀P₀) + B₀(P₀(1+B₀))

= P₀(1+B₀)+P₀B₀(1+B₀)

= (P₀+P₀B₀)(1+B₀)

= P₀(1+B₀)(1+B₀)

= P₀(1+B0)²

Dst

P_t =M_t = P₀(1+B₀)^t

Contoh

Seorang petambak udang menyimpan uangnya sebesar Rp60.000.000,00 di bank dengan bunga majemuk sebesar 12% per tahun. Tentukan nilai akhir modal tersebut setelah 6 bulan.

Penyelesaian:

P = Rp60.000.000,00

Bunga setahun = 12%, bunga 1 bulan = 1%

Modal setelah 6 bulan = P6= P0(1+1%)⁶

= Rp60.000.000,00 (1,01)⁶

= Rp60.000.000,0 x 1,061520151

= Rp63.691.209,04

Jadi nilai akhir modal = Rp63.691.209,04

Latihan

Seorang pengusaha perabotan rumah tangga menabung uang di Bank sebesar Rp1.000.000,00 dengan bunga majemukl 8% pertahun. Hitung modal seluruhnya setelah 10 tahun!
Seorang muda mendapat warisan Rp2.000.000.000,00 dia ingin menginvestasikan sebagian warisannya dengan ditabung di Bank yang bunganya 12% pertahun dengan periode konversi bunga majemuk 6 bulan Harapannnya setelah 5 tahun dia menerima hasil investasi sebesar Rp300.000.000,00. hitunglah besar uang yang harus ditabung
Sejumlah uang diinvetasikan dengan bunga 10% pertahun dengan periode konversi bunga majemuk 3 bulan. Berapa lama agar investasinya menjadi dua kali lipat dari modal semula.

E. Rente atau Anuitas

Pada suatu pinjaman, yang selanjutnya kita namakan utang akan dikembalikan secara rente/anuitas. Ada 3 komponen yang menjadi dasar perhitungan guna menentukan besar rente, yaitu:

Besar pinjaman
Bunga atau suku bunga
Jangka waktu dan jumlah periode pembayaran
Jumlah keseluruhan awal, yaitu besar modal/utang dan bunganya selam n periode yang dilakukan setiap awal konversi (Mt Pre)
Jumlah keseluruhan awal, yaitu besar modal/utang dan bunganya selam n periode yang dilakukan setiap akhir konversi (Mt Post)

Renta memilki dua fungsi:

Membayar Bunga atas sisa utang
membayar angsuran utang

Nilai Tunai

Ada 2 macam nilai tunai

nilai tunai awa (m_t pre)l
nila tunai akhir(m_t Post)

Kertkaitan dua macam nilai

M_t(Pre) = (1+B)

M_t(Post)=

m_t(pre) =

m_t(post)=(1+B)

Cari Blog Ini

ARIS DANIEL

Logika Matematika

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Originalitas Seni (Bahasa Indonesia)

Toraja